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Pierre-André Chevalier
Professeur à l'Ecole d'ingénieurs de Bienne
Haute Ecole Spécialisée bernoise
Mars 2002

Introduction

Le GPS (Global Positioning System) est un système de positionnement complexe, basé sur une galaxie de 24 satellites qui tournent autour de la Terre et qui envoient continuellement des messages sous la forme de signaux électromagnétiques.

Sur la Terre, ces messages peuvent être captés au moyen d'un récepteur GPS, petit appareil électronique de la grandeur d'un téléphone portable. Cet appareil est capable de recevoir les signaux envoyés par les satellites et de les utiliser pour calculer la position géographique de l'endroit où il se trouve. La position est calculée avec une précision de quelques mètres. Des moyens supplémentaires permettent d'améliorer cette précision jusqu'à quelques dizaines de centimètres.

Ce système fonctionne également de nuit, dans le brouillard ou la tempête, indépendamment des conditions météorologiques ou de l'altitude.

Du point de vue technologique, ce petit appareil est une merveille de miniaturisation, et il est impressionnant de découvrir tout ce qui se passe à l'intérieur de ses circuits électroniques.

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Le document que vous lisez en ce moment ne fournit pas de description détaillée du système et ne discute pas les questions techniques du GPS. On trouve sur le sujet de nombreux sites WEB.
En outre, les problèmes mathématiques liés à la transmission et au codage des messages, bien que très intéressants, ne sont pas abordés ici.

Le but de ce document est plutôt de présenter le problème «géométrique» du GPS, qui se résume dans la question : comment ce petit appareil fait-il effectivement pour déterminer la position où il se trouve ?

Quelques éléments de réponse sont développés successivement dans les quatre parties présentées ci-dessous, qui sont distinctes et de niveau mathématique croissant. La première partie est accessible sans connaissances de mathématiques, et les parties suivantes contiennent des développements mathématiques plus élaborés.

Mais laissons plutôt au lecteur le soin d'entrer par lui-même dans la découverte de la géométrie du GPS...


1ère partie : une histoire imaginaire

Pour faciliter l'entrée dans le sujet au lecteur qui ne serait pas familier des mathématiques, la présentation de ce problème commence par une histoire. Ce récit plutôt littéraire et totalement imaginaire décrit d'une manière romancée un problème plus simple, mais analogue à celui du GPS.

La situation est celle d'un bateau qui doit traverser un grand lac dans un épais brouillard. Pour pouvoir naviguer sans danger, il est nécessaire que le capitaine du bateau puisse connaître à tout moment la position où il se trouve. Mais l'histoire se passe à une époque où l'électricité n'avait pas encore été découverte ! Il faut donc trouver un moyen de déterminer la position du bateau...

Ce récit pourra être lu par chacun sans connaissances spéciales de mathématiques.
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Cliquer sur l'image pour entrer dans l'histoire


2ème partie : un problème géométrique et sa solution

L'histoire du bateau livrée dans la partie précédente conduit, à la fin, à un problème mathématique : déterminer à un moment donné la position du bateau à partir des informations rassemblées venant de l'extérieur.

La deuxième partie présente maintenant la résolution mathématique de ce problème. La méthode de résolution présentée ici est analogue, dans le procédé mis en oeuvre, à ce que le récepteur GPS doit faire pour déterminer sa position. La transition entre le problème du bateau et celui du GPS sera (pour le lecteur) facile à franchir, si l'on remarque que
  • Le récepteur GPS écoute des messages, qui ne sont pas des coups de canon mais des signaux électromagnétiques envoyés par les satellites. Ces signaux contiennent des informations très précises sur la position instantanée du satellite et l'heure d'envoi du message.
  • Il calcule les temps de parcours des messages envoyés par les satellites (ordre de grandeur: 60 ms).
  • Il construit les équations correspondant aux différents satellites «visibles», et il les résout au moyen d'une méthode itérative.


Cet article contenant des formules mathématiques est fourni en format PDF (4 pages A4).
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3ème partie : une introduction à la géométrie du GPS

Le lecteur qui souhaiterait avoir plus de détails trouvera dans cette troisième partie des éléments de réponses : comment un récepteur GPS détermine-t-il sa position géographique à partir des données provenant d'une galaxie de satellites qui tournent autour de la Terre ? .

Cette section décrit de manière plus approfondie les fondements mathématiques du positionnement par GPS.

Il suit également une analyse de la précision du positionnement, et en particulier de la détermination des «indicateurs de dilution de la précision» appelés habituellement GDOP, VDOP, HDOP et TDOP.

Cet article est fourni en format PDF (20 pages A4).
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4ème partie : exemples et simulations

La dernière partie du document présente des simulations de calculs de positionnement par GPS.

Un programme informatique a simulé le déplacement des 24 satellites dans le ciel, et il a pris en compte en particulier les satellites «visibles» à chaque instant dans le ciel au-dessus d'un observateur. A partir des positions respectives des satellites «visibles», ainsi que des temps d'horloge simulés, le programme exécute le processus de calcul de la position virtuelle de l'observateur, selon le procédé de la partie 3 ci-dessus. Il détermine aussi, pour chaque situation, les «indicateurs de dilution de la précision» GDOP, VDOP, HDOP et TDOP.
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Cliquer sur l'image pour voir les simulations


Merci d'avoir consacré un peu de votre temps à l'exploration de ce site. Au travers de cette introduction didactique, nous espérons avoir pu vous faire progresser un peu dans votre connaissance du système GPS et de son fonctionnement. Mais ceci n'est que le début...

Références :

  • Linear Algebra, Geodesy and GPS ; G. Strang, K, Borre ; Wellesley-Cambridge Press, 1997.
  • GPS-Satelliten-Navigation; F. Schroedter ; Franzis-Verlag GmbH, 1994.
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Auteur: Pierre-André Chevalier
Adresse: pierre-andre.chevalier@hta-bi.bfh.ch
Date dernière mise à jour: 18.02.2002