Une introduction didactique à la géométrie GPS, 1ère partie Retour à la page principale


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Pierre-André Chevalier
professeur à l'Ecole d'ingénieurs de Bienne
Haute Ecole Spécialisée bernoise
Ce récit imaginaire décrit d'une manière romancée un problème plus simple, mais analogue à celui du GPS.
La situation est celle d'un bateau qui doit traverser un grand lac dans un épais brouillard. Pour pouvoir naviguer sans danger, il est nécessaire que le capitaine du bateau puisse connaître à tout moment la position où il se trouve. Mais l'histoire se passe à une époque où l'électricité n'avait pas encore été découverte !

Il faut donc trouver un moyen de déterminer la position du bateau...

Mais entrons sans plus tarder dans l'histoire:

...Cette fois, le Roi s'était fâché. C'était le cinquième bateau qui avait disparu au milieu du Grand-Lac sans laisser de traces ni de survivants, et cela suffisait. Il fallait agir, car la traversée du Grand-Lac représentait un élément fondamental pour la prospérité du pays. Pour que les capitaines puissent conduire les bateaux à travers le lac en toute sécurité, en évitant les innombrables et dangereux rochers dont le lac était parsemé, il fallait qu'ils puissent à tout moment connaître exactement leur position, même dans les épais brouillards qui régnaient habituellement sur le pays.

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Le Grand-Lac et ses nombreux dangers

Le Conseil des Sages avait été réuni d'urgence, et le Roi avait pour l'occasion convoqué le plus grand savant du royaume, un astronome et géomètre de grande renommée.

La discussion s'éternisait déjà depuis des heures, nourrie principalement par les hommes de loi et les argentiers du royaume. Mais aucune solution qui pourrait garantir efficacement la sécurité des bateaux n'avait encore pu être avancée. Le Roi était excédé par ces paroles ennuyeuses et vaines. Frappant d'un grand coup de poing sur la table, il exigea que l'on donnât enfin la parole à l'Astronome.

«Majesté, commença celui-ci, après avoir beaucoup travaillé ces derniers jours, je crois pouvoir proposer aujourd'hui une solution à notre problème. Dans l'état actuel de notre savoir-faire, cela me semble réalisable, mais je dois vous dire d'abord que cela coûtera un certain prix... Le principe est basé sur les grands progrès que vos horlogers ont fait récemment, et qui ont jusqu'à ce jour été gardés dans le plus grand secret : ces horlogers de génie ont été capables de construire quatre horloges de très grande précision, qui montrent toutes exactement la même heure, même après plusieurs mois. Ils sont aussi capables d'en construire encore d'autres. »

L'Astronome observa une pause, durant laquelle il contempla un à un tous les membres de l'assemblée. A l'adresse du Roi, il affirma d'un ton solennel : «Majesté, ces horloges sont la solution de notre problème ! Avec elles, nous contrôlerons le temps. Et avec la maîtrise du temps, nous gagnerons aussi la maîtrise du lieu, c'est-à-dire la position de nos bateaux ! »

Il régnait à ce moment un silence intense dans la salle. L'Astronome avait conquis l'intérêt de toute l'assemblée, mais chacun attendait d'en savoir plus. Comment l'Astronome pourrait-il bien déterminer la position d'un bateau avec des horloges ? Etait-ce sérieux ? Quel était donc ce mystère ?
L'Astronome poursuivit son explication, qui dura encore plus de deux heures. Il s'appliqua à parler clairement et simplement, de manière à ce que chacun comprît bien, et il effectua des croquis à la craie sur un tableau qu'on lui avait apporté. Quand il regagna sa place, sous les applaudissements de toute l'assemblée, il eut l'impression que son projet avait été pris au sérieux. Il fut personnellement félicité par le Roi, qui lui promit immédiatement les crédits nécessaires et le chargea de mettre en oeuvre le projet.

Le même soir, l'Astronome travailla encore longtemps pour écrire toute la description de son système, en y ajoutant de nombreuses figures et en détaillant tous ses calculs. En se couchant au petit matin, il ressentit en lui-même une grande satisfaction, celle que son travail allait enfin servir à quelque chose d'utile.

* * *

Deux mois plus tard, l'Astronome effectua un grand voyage, par voie terrestre, dans une calèche tirée par quatre chevaux. Il était accompagné de deux soldats et de l'un des horlogers du Roi. Le but du voyage était de faire le tour complet du Grand-Lac, en s'arrêtant dans chacun des trois lieux qui avaient été choisis, des ports, pour contrôler l'avancement des travaux. Il rentra satisfait et établit un rapport très encourageant au Roi. Dans chacun des trois ports, on avait élevé une grande tour, solidement construite en pierres de taille. Au sommet de chacune d'elles, on avait installé sous un abri l'une des fameuses horloges, ainsi qu'un énorme canon visant en direction du lac.

* * *

Le nouveau bateau avait été achevé en quelques mois. On l'avait construit encore plus beau et plus grand que le précédent, et l'on avait installé la quatrième horloge dans la cabine de commandement, à côté des compas et des lunettes astronomiques. La précision des horloges, celle du bateau comme celles des ports, avait été plusieurs fois vérifiée, et toutes fonctionnaient parfaitement.

Au milieu des acclamations, des hourras et des éclats de fanfare, le Roi coupa un long ruban rouge et donna l'ordre de départ. Bientôt, le bateau disparut dans l'épais brouillard et la nuit.



* * *


Sur la passerelle de commandement, le capitaine était à son poste depuis le lever du jour. Le début de matinée s'était bien passé, et la position avait été calculée à 6h00, selon le nouveau procédé. A l'horloge du bord, il était maintenant 8 heures moins deux minutes, et l'ordre de silence venait une nouvelle fois d'être donné. Les moteurs s'étaient arrêtés à l'instant, et le calme était subitement revenu, selon un rythme auquel tous les passagers s'étaient désormais habitués. Chacun avait compris que la sécurité - donc la vie - dépendait de ces quelques minutes de silence absolu, exigées toutes les deux heures.

A 7h59, le capitaine et son lieutenant s'installèrent face à l'horloge sur des sièges surélevés, au-dessus desquels pendaient des espèces de tuyaux en cuivre tombant du plafond. En fait, ces tuyaux étaient les extrémités de trois énormes porte-voix disposés sur le toit du bateau. Utilisés comme amplificateurs, ces porte-voix permettaient aux personnes placées près de leurs embouchures d'entendre parfaitement les bruits extérieurs, même des bruits qui venaient de très loin. Il est vrai que sur le bateau ces porte-voix étaient gigantesques, presque aussi hauts que les cheminées, et leur forme d'oreilles cuivrées géantes donnaient à l'ensemble un aspect très curieux.
A 8h00, le capitaine regarda fixement l'horloge, et plaça son oreille sur l'embouchure du porte-voix. Les seuls bruits que l'on entendait à ce moment étaient le martèlement infaillible et métrique de l'horloge, qui marquait les secondes, et des clapotis d'eau.
A 8h01, aucun bruit nouveau n'était encore signalé. A 8h02, non plus. Redoublant de concentration, les deux pilotes se préparaient à réagir d'une seconde à l'autre. Ils savaient qu'un signe ne devrait pas tarder à arriver.

Il était 8h 2 min et 6 secondes lorsqu'il entendirent une détonation brève et sourde, comme un coup de canon qui devait venir de très loin. Ils reconnurent immédiatement ce bruit caractéristique, et ils inscrivirent dans leur carnet l'heure à laquelle ils l'avaient entendu : 8h, 2 minutes et 6 secondes.

Ce qu'ils avaient entendu était effectivement un coup de canon. Ce coup avait été tiré, à blanc, de la tour du premier port, celui que la bateau avait quitté la veille. Selon le programme prévu par l'Astronome, c'était à 8h00 exactement que le gardien de service sur la tour avait tiré le coup, en respectant l'heure avec toute la précision que permettait l'horloge. Très amplifié par les porte-voix, ce coup avait été entendu sur le bateau à 8h 2 min et 6 secondes. On pouvait donc calculer que le bruit du canon avait mis 126 secondes pour arriver jusqu'au bateau.
On savait aussi que le son du coup de canon se déplaçait dans l'air en parcourant 340 mètres par seconde, avec une légère variation de quelques mètres selon les conditions de température, d'humidité et de pression. Il était donc facile au capitaine, bien entraîné à l'arithmétique et à la géométrie, de calculer que le bateau se trouvait à la distance de 42.84 km du port No 1.

Dans le poste de commandement du bateau, le capitaine et son lieutenant avaient repris leur écoute attentive. Ils savaient qu'un deuxième coup de canon devrait être tiré exactement à 8h05 au port No 2, et ils se préparaient à noter l'heure où ils l'entendraient. Celui-ci fut entendu à 8h 7 minutes et 37 secondes, soit après un voyage de 157 secondes, et l'on conclut que le bateau se trouvait à 53.38 km du port No 2.
Le même scénario se produisit une troisième fois, et l'on sut quelques minutes plus tard que le bruit sec du troisième coup de canon, tiré à 8h10 du troisième port, avait mis 173 secondes pour arriver, ce qui signifiait que l'on était à 58.82 km du port No 3.
A côté de la salle de commandement se trouvait une petite salle de calcul, dans laquelle deux membres d'équipage attendaient. Sur une grande table étaient étalées des cartes marines, des règles et des compas, ainsi que deux machines très compliquées qui ressemblaient à des horloges, mais qui n'avaient ni cadran ni aiguilles. Chacune d'elles était surmontés d'une douzaine de gros cylindres et de curseurs en bronze, sur lesquels étaient gravés des chiffres et des symboles spéciaux. Ces machines, des calculatrices, avaient été construites spécialement par les horlogers du Roi selon des plans de l'Astronome, et elles avaient coûté fort cher.
Le capitaine entra dans la petite salle, et s'installa à côté des deux opérateurs chargés de faire les calculs de position. Il ouvrit son petit carnet, et leur dicta les informations qu'il venait de recevoir : 42.84 km jusqu'au port No 1, 53.38 km jusqu'au port No 2 et 58.82 km jusqu'au port No 3. Telle était la situation, et les opérateurs avaient maintenant quelques courtes minutes pour déterminer la position du bateau.


* * *

En sortant de la salle de calculs, quelques minutes plus tard, le capitaine donna l'ordre de remettre les moteurs en marche et de continuer la traversée. Le bruit des machines, des vagues, et du vent dans les cheminées augmenta rapidement, et le bateau reprit bien vite son allure normale. Dans le brouillard, le bateau pouvait maintenant suivre sa route sans danger, car le capitaine savait exactement où il était et quel cap il devrait suivre durant les deux prochaines heures. C'est dans un peu moins de deux heures, à 10h00 exactement, que le prochain signal sonore serait envoyé du port No 1, et que le même processus de positionnement du bateau serait une nouvelle fois effectué.

Le système de contrôle de la position du bateau, tel que l'Astronome l'avait proposé, se montrait tout à fait efficace, et finalement facile à mettre en oeuvre.
On pouvait dès lors traverser le Grand-Lac par tous les temps, de nuit comme de jour, et en toute sécurité. Ce fut un grand progrès, dont tout le pays put, longtemps encore, profiter des conséquences bienfaisantes.


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Auteur: Pierre-André Chevalier
Date: 20 février 2002
Contact: pierre-andre.chevalier@hta-bi.bfh.ch